Versicherungsmathematik
Welche verschiedenen Versicherungstypen gibt es und warum werden sie unterschieden? Wenn Sie eine Haftpflichtversicherung abschließen, so wissen Sie genau, welche Versicherungsprämien Sie monatlich bezahlen müssen. Das Versicherungsunternehmen weiß also recht genau, welche Prämien jeden Monat von all seinen Versicherungsnehmern in einen Versicherungstopf hineinfließen. Aber es weiß nicht, wieviele Schäden im nächsten Monat auftreten werden und in welcher Höhe. Wie kann das Versicherungsunternehmen gewährleisten, daß die sicheren Prämien ausreichen, um die unsicheren Schäden der Zukunft ausgleichen zu können? Dieser Themenkomplex ist ein Bestandteil des Studiums der Wirtschaftsmathematik in Remagen.
Bezeichnen wir mit S(n) den jährlichen Gesamtschaden eines Bestandes aus n Versicherungen, den wir aus der Vergangenheit für das kommende Jahr prognostizieren. Dann gilt unter milden Annahmen an die Verteilung S(n) mit Hilfe der Ungleichung von Cantelli die Abschätzung
Dabei ist E[S(n)] der Erwartungswert der jährlichen Gesamtschadensverteilung und Var[S(n)] die Varianz dieser Verteilung. Weiter bezeichnet P[S(n) > E[S(n)] +c] die Wahrscheinlichkeit, daß der Gesamtschaden S(n) größer ist als E[S(n)] + c. Die Zahl c>0 heißt Sicherheitszuschlag und kann, wie sofort abzulesen ist, mit Hilfe dieser Abschätzung leicht so gewählt werden, daß die Wahrscheinlichkeit, einen Gesamtschaden > E[S(n)] + c zu erleiden, kleiner wird, als eine beliebig vorgegebene Wahrscheinlichkeit, z.B. 1%.
Auf diese Weise läßt sich bereits leicht eine Versicherungsprämie pro Versicherungsnehmer kalkulieren, mit der sich alle auftretenden Schäden mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99% abdecken lassen, nämlich (E[S(n)] + c)/n. Diese Abschätzung garantiert also, daß die Prämieneinnahmen der Versicherung in 99% aller Fälle ausreichen, um die entstehenden Schäden der Zukunft ausgleichen zu können.
Allerdings ist diese Abschätzung sehr grob; insbesondere verwendet sie keine spezifischen Verteilungsannahmen, so daß es möglich sein sollte, die Prämie zu verringern, wenn Zusatzinformationen vorliegen. Wie diese Zusatzinformationen berücksichtigt werden können und noch vieles mehr, erfahren Sie im Verlauf des Studiums der Wirtschaftsmathematik in Remagen.
